若定義在R上的函數(shù)f（x）同時滿足下列三個條件：
①對任意實數(shù)a，b均有f（a+b）=f（a）+f（b）成立；
②；
③當(dāng)x＞0時，都有f（x）＞0成立．
（1）求f（0），f（8）的值；
（2）求證：f（x）為R上的增函數(shù)；
（3）求解關(guān)于x的不等式．
【答案】分析：（1）a=b=0可求f（0），再令a=b=4可求得f（8）；
（2）利用單調(diào)性的定義，設(shè)x1＜x2，結(jié)合已知可證得f（x2）＞f（x1），問題得證；
（3）可求得f（8）=，將原不等式轉(zhuǎn)化為f（x-3）-f（3x-5）=f（2-2x）≤f（8），再利用f（x）為R上的增函數(shù)，即可．
解答：解：（1）令a=b=0得f（0）=0，令a=b=4得f（8）=；
（2）證明：設(shè)x1＜x2，則x2-x1＞0，f（x2-x1）＞0；
∴f（x2）=f（x1）+f（x2-x1）＞f（x1），
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）為R上的增函數(shù)；
（3）由已知得f（4）+f（4）=+==f（4+4）=f（8），
∵對任意實數(shù)a，b均有f（a+b）=f（a）+f（b）成立，f（0）=0，
∴令a=x，b=-x，則f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x-3）-f（3x-5）=f（2-2x），
∵f（x-3）-f（3x-5）≤f（8），
∴f（2-2x））≤f（8），
又f（x）為R上的增函數(shù)，
∴2-2x≤8，解得x≥-3．
故原不等式的解集為：{x|x≥-3}．
點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，突出賦值法與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域為A，若x1、x2∈A且f（x1）=f（x2）時總有x1=x2，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：
①若函數(shù)f（x）是f（x）=x2（x∈R），則f（x）一定是單函數(shù)；
②若f（x）為單函數(shù)，x1、x2∈A且x1≠x2，則f（x1）≠f（x2）；
③若定義在R上的函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)；
④若函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，則f（x）一定不是單函數(shù)；
⑤若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（x）一定是單函數(shù)．
其中的真命題的序號是
②④
②④
．

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若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2，則下列說法一定正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若定義在R上的函數(shù)f（x）對任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，且當(dāng)x＞0時，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）若f（4）=5，不等式f（cos2x+asinx-2）＜3對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若定義在R上的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求證：f（x）在（-∞，0]上也是增函數(shù)；
（2）對任意θ∈R，不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時，其圖象是四分之一圓（如圖所示），則函數(shù)H（x）=|xex|-f（x）在區(qū)間[-3，1]上的零點個數(shù)為（　　）
A、5B、4C、3D、2

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