Question

10．已知函數(shù)$f（x）=px-\frac{p}{x}-2lnx$．
（1）若p=2，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，設(shè)函數(shù)$g（x）=\frac{2e}{x}$，若在[1，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)在x=1處的值，求出導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值即切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線的方程．
（2）通過g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最小值，通過對p的討論，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)p=2時，函數(shù)$f（x）=2x-\frac{2}{x}-2lnx$，f（1）=2-2-2ln1=0.$f'（x）=2+\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x}$，
曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2-2=2．
從而曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），即y=2x-2．
（2）$f'（x）=p+\frac{p}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{{p{x^2}-2x+p}}{x^2}$．令h（x）=px²-2x+p，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，只需h（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立．
由題意p＞0，h（x）=px²-2x+p的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為$x=\frac{1}{p}∈（0，+∞）$，
∴$h{（x）_{min}}=p-\frac{1}{p}$，只需$p-\frac{1}{p}≥0$，即p≥1時，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，正實(shí)數(shù)p的取值范圍是[1，+∞）．
∵$g（x）=\frac{2e}{x}$在[1，e]上是減函數(shù)，∴x=e時，g（x）_min=2；x=1時，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]，
當(dāng)p≥1時，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
而$f{（x）_{max}}=f（e）=p（{e-\frac{1}{e}}）-2lne$，g（x）_min=2，
即$p（{e-\frac{1}{e}}）-2lne＞2$，解得$p＞\frac{4e}{{{e^2}-1}}$，而$\frac{4e}{{{e^2}-1}}＞1$，
所以實(shí)數(shù)p的取值范圍是$（{\frac{4e}{{{e^2}-1}}，+∞}）$．

點(diǎn)評 解決曲線的切線問題，常利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率求出切線方程；解決函數(shù)單調(diào)性已知求參數(shù)范圍問題，常令導(dǎo)函數(shù)大于等于0（小于等于0）恒成立，求出參數(shù)的范圍．