已知函數(shù)f(x)=2a-
1
3x+1
（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明．
（1）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，
即：(2a-
1
3-x+1
)+(2a-
1
3x+1
)=0，
則有：4a-
3x
3-x?3x+1?3x
-
1
3x+1
=0，
即：4a-
3x+1
3x+1
=0，
∴4a-1=0，a=
1
4
；
（2）f（x）在R上是增函數(shù)，證明如下：
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=(2a-
1
3x1+1
)-(2a-
1
3x2+1
)=
1
3x2+1
-
1
3x1+1
=
3x1-3x2
(3x1+1)(3x2+1)
．
∵y=3x在R上是增函數(shù)，且x1＜x2，
∴3x1＜3x2，
即：3x1-3x2＜0．
又3x＞0，
∴3x1+1＞0，3x2+1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即：f（x1）＜f（x2），
故f（x）在R上是增函數(shù)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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