(本小題共14分)
已知函數y=f(x), xN*, y
N*滿足:
①對任意a,bN*,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a); ②對任意n
N*都有f [f(n)]=3n.
(Ⅰ)試證明:f(x)為N*上的單調增函數;
(Ⅱ)求f(1)+f(6)+f(28);
(Ⅲ)令an=f(3n),nN*試證明:
≤
+…+
<
.
解:(Ⅰ)由①知,對任意a,bN*,a<b,都有(a
b)(f (a)
f(b))>0,
由于a-b<0, 從而f(a)<f(b),所以函數f(x)為N*上的單調增函數. …3分
(Ⅱ)令f(1)=a,則a≥1,顯然a≠1,否則f(f(1))= f(1)=1,與f(f(1))=3矛盾.,從而a>1,
而由f(f(1))=3,即得f(a)=3.
又由(Ⅰ)知f(a)>f(1)=a ,即a<3.
于是得1<a<3,又aN*,從而a=2,即f(1)=2 ……………… 5分
進而由f(a)=3知,f(2)=3.
于是f(3)=f(f(2))=3×2=6,………………………………… 7分
f(6)=f(f(3))=3×3=9,
f(9)=f(f(6))=3×6=18,
f(18)=f(f(9))=3×9=27,
f(27)=f(f(18))=3×18=54,
f(54)=f(f(27))=3×27=81.
由于5427=81
54=27,
而且由(Ⅰ)知,函數f(x)為單調增函數,因此f(28)=54+1=55.
從而f(1)+f(6)+f(28)=2+9+55=66.……………………… 9分
(Ⅲ)f(an)=f(f(3n))=3×3n=3n+1,
an+1=f(3n+1)=f(f(an))=3an,a1=f(3)=6.
即數列{an}是以6為首項,以3為公比的等比數列.
∴an=6×3n1=2×3n(n=1,2,3…).………………………… 11分
于是+
+…+
=
(
+
+…+
)=
×
.
顯然(
)<
.………………………………………………12分
另一方面3n=(1+2)n=1+×2+
×22+…+
×2n≥1+2n,
從而(1
)≥
(1
)=
.
綜上得≤
+
+…+
<
.…………………………14分
說明:其他正確解法按相應步驟給分.
科目:高中數學 來源: 題型:
(本小題共14分)
如圖,四棱錐的底面是正方形,
,點E在棱PB上。
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)當且E為PB的中點時,求AE與平面PDB所成的角的大小。
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科目:高中數學 來源: 題型:
(2009北京理)(本小題共14分)
已知雙曲線的離心率為
,右準線方程為
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)設直線是圓
上動點
處的切線,
與雙曲線
交
于不同的兩點,證明
的大小為定值.
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科目:高中數學 來源:2013屆度廣東省高二上學期11月月考理科數學試卷 題型:解答題
(本小題共14分)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD底面ABCD,PD=DC,點E是PC的中點,作EF
PB交PB于點F
⑴求證:PA//平面EDB
⑵求證:PB平面EFD
⑶求二面角C-PB-D的大小
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科目:高中數學 來源:2010年北京市崇文區(qū)高三下學期二模數學(文)試題 題型:解答題
(本小題共14分)
正方體的棱長為
,
是
與
的交點,
為
的中點.
(Ⅰ)求證:直線∥平面
;
(Ⅱ)求證:平面
;
(Ⅲ)求三棱錐的體積.
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