Question

（本小題共14分）

已知函數y=f(x), xN^*, y N^*滿足:

①對任意a,bN^*,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a); ②對任意nN^*都有f ［f(n)］=3n.

（Ⅰ）試證明：f(x)為N^*上的單調增函數；

（Ⅱ）求f(1)+f(6)+f(28)；

（Ⅲ）令a_n=f(3ⁿ)，nN^*試證明: ≤+…+<.

Answer 1

解：（Ⅰ）由①知，對任意a,bN*，a＜b,都有（ab）（f (a)f（b））＞0，

由于a-b＜0, 從而f（a）＜f（b），所以函數f（x）為N^*上的單調增函數. …3分

（Ⅱ）令f（1）=a，則a≥1，顯然a≠1,否則f（f（1））= f（1）=1,與f（f（1））=3矛盾.，從而a＞1,

而由f（f（1））=3，即得f（a）=3.

又由（Ⅰ）知f（a）＞f（1）=a ,即a＜3.

于是得1＜a＜3,又aN^*,從而a=2，即f（1）=2  ……………… 5分

進而由f（a）=3知，f（2）=3.

于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，………………………………… 7分

f（6）=f（f（3））=3×3=9，

f（9）=f（f（6））=3×6=18，

f（18）=f（f（9））=3×9=27，

f（27）=f（f（18））=3×18=54，

f（54）=f（f（27））=3×27=81.

由于5427=8154=27,

而且由（Ⅰ）知，函數f（x）為單調增函數，因此f（28）=54+1=55.

從而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66.………………………  9分

（Ⅲ）f（a_n）=f（f（3ⁿ））=3×3ⁿ=3ⁿ⁺¹,

a_n+1=f（3ⁿ⁺¹）=f（f（a_n））=3a_n,a₁=f（3）=6.

即數列{a_n}是以6為首項，以3為公比的等比數列.

∴a_n=6×3ⁿ¹=2×3ⁿ（n=1，2，3…）.…………………………  11分

      于是++…+=（++…+）=×.

       顯然（）＜.………………………………………………12分

      另一方面3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+×2+×2²+…+×2ⁿ≥1+2n,

      從而（1）≥（1）=.

       綜上得≤++…+＜.…………………………14分

說明：其他正確解法按相應步驟給分.