Question

某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方米，且．假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為千元，設該容器的建造費用為千元．

（Ⅰ）寫出關于的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）求該容器的建造費用最小時的．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)；(Ⅱ)當時，建造費用最小時當時，建造費用最小時.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由圓柱和球的體積的表達式，得到l和r的關系．再由圓柱和球的表面積公式建立關系式，將表達式中的l用r表示．并注意到寫定義域時，利用l≥2r，求出自變量r的范圍；(Ⅱ)用導數(shù)的知識解決，注意到定義域的限制，在區(qū)間（0，2]中，極值未必存在，將極值點在區(qū)間內和在區(qū)間外進行分類討論.

試題解析：（I）設容器的容積為V，由題意知

故

由于因此                           _.3分

所以建造費用

因此                        _..5分

（II）由（I）得

由于    當

令_;所以           .7分

（1）當時，

所以是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點。            .10分

（2）當即時， 當函數(shù)單調遞減，

所以r=2是函數(shù)y的最小值點，

綜上所述，當時，建造費用最小時

當時，建造費用最小時                 13分

考點：1.函數(shù)解析式和定義域；2.函數(shù)模型的應用；3.函數(shù)最值的求法