已知g（x）=1-x，f[g（x）]=2-x2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）h（x）=
f(x)-1
x2
-a，若h（x）在x∈[-3，-1]上的最大值是-
5
3
，求a的值．
分析：（1）利用換元法求函數(shù)f（x）的解析式，
（2）求出函數(shù)h（x）的表達(dá)式，利用分式函數(shù)的單調(diào)性建立方程，即可求出a的值．
解答：解：（1）設(shè)t=g（x）=1-x，則x=1-t，
∴f[g（x）]=2-x2，等價(jià)為f（t）=2-（1-t）2=-t2+2t+1，
∴f（x）=-x2+2x+1．
（2）∵h(yuǎn)（x）=
f(x)-1
x2
-a，
∴h（x）=
f(x)-1
x2
-a=
-x2+2x+1-1
x2
-a=
-x2+2x
x2
-a=
2
x
-a-1，
∵h(yuǎn)（x）=
2
x
-1-a在x∈[-3，-1]單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=-3時(shí)，函數(shù)h（x）取得最大值h（-3）=-
2
3
-a-1=-
5
3
-a=-
5
3
，
即a=0．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用換元法求函數(shù)的解析式，以及分式函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

21、例4．已知f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b（a、b、c∈R），當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，|f（x）|≤1
（1）證明：|c|≤1．
（2）x∈[-1，1]時(shí)，證明|g（x）|≤2．
（3）設(shè)a＞0，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，g（x）max=2，求f（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）求證：函數(shù)f（x）=x+
a
x
是奇函數(shù)；
（2）已知函數(shù)g（x）=x+
1
x
在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；函數(shù)g（x）=x+
4
x
在區(qū)間（0，2）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；猜想出函數(shù)g（x）=x+
b2
x
，（b＞0），x∈（0，+∞）的單調(diào)區(qū)間；
（3）指出函數(shù)h（x）=x+
8
x
，x∈（-∞，0）在什么時(shí)候取最大值，最大值是多少．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知g（x）=1-x，f[g（x）]=2-x2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）h（x）=f（x）-1-a，若h（x）＜0在x∈（-1，2）上恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（第2章 函數(shù)）：2.8 一次函數(shù)、二次函數(shù)（解析版） 題型：解答題

例4．已知f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b（a、b、c∈R），當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，|f（x）|≤1
（1）證明：|c|≤1．
（2）x∈[-1，1]時(shí)，證明|g（x）|≤2．
（3）設(shè)a＞0，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，g（x）max=2，求f（x）．

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