Question

2．已知定義在R上的函數f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$是奇函數
（1）求a，b的值；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數定義f（-x）=-f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值，f（-1）=-f（1），求a的值；
（2）結合單調性和奇函數的性質把不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0轉化為關于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函數，∴f（0）=0，∴b=1，
∵f（-1）=-f（1），∴$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+a}$=-$\frac{1-2}{2+a}$，∴a=1；
（2）由（1）知f（x）=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{-2xln2}{{{（2}^{x}+1）}^{2}}$＜0
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，
所以（t-2t²）+f（-k）＞0等價于t-2t²＜k，
∴k＞t-2t²=-2${（t-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{1}{8}$對任意t∈R恒成立，
∴k＞$\frac{1}{8}$．

點評 本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合應用；同時考查一元二次不等式恒成立問題的解決策略，是一道綜合題．