Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_n+1=a_n+2n，n∈N^*，a₁=0．
求（1）{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{

1

an+2n

}的前n項和Sn．

Answer 1

分析：（1）由已知可知，a_n+1-a_n=2n，則有a_n-a_n-1=2（n-1）…a₂-a₁=2×1，結(jié)合類加法即可求a_n
（2）由（1）可得

1

an+2n

=

1

n

-

1

n+1

，則可得到數(shù)列{

1

an+2n

}的前n項和Sn=

n

n+1

．

解答：解：（1）由于在數(shù)列{a_n}中，a_n+1=a_n+2n，n∈N^*，a₁=0，
則a_n+1-a_n=2n
故有a_n-a_n-1=2（n-1）
…
a₂-a₁=2×1
a₁=0，
則a_n=2×[（n-1）+（n-2）+…+1]=n（n-1）
故{a_n}的通項公式為 a_n=n（n-1）；
（2）由于

1

an+2n

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

則數(shù)列

1

an+2n

的前n項和為
S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項公式，數(shù)列的裂項相消求解數(shù)列的和方法的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用．