Question

已知命題p：“?x∈[1，2]，

1

2

x²-ln x-a≥0”與命題q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”都是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：本題考查的一元二次不等式的解法，及一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系．由命題p：“?x∈[1，2]，

1

2

x²-ln x-a≥0”是真命題，則a≤

1

2

x²-lnx，x∈[1，2]，即a小于等于函數(shù)y=

1

2

x²-lnx，x∈[1，2]的最小值；由命題q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”是真命題，則方程x²+2ax-8-6a=0的判別式△=4a²+32+24a≥0，然后構(gòu)造不等式組，解不等式組，即可得到答案．

解答：解：∵?x∈[1，2]，

1

2

x²-lnx-a≥0，
∴a≤

1

2

x²-lnx，x∈[1，2]，
令f（x）=

1

2

x²-lnx，x∈[1，2]，
則f′（x）=x-

1

2

，
∵f′（x）=x-

1

2

＞0（x∈[1，2]），
∴函數(shù)f（x）在[1，2]上是增函數(shù)、
∴f（x）_min=

1

2

，∴a≤

1

2

．
又由命題q是真命題得△=4a²+32+24a≥0，
解得a≥-2或a≤-4．
因?yàn)槊�題p與q均為真命題，
所以a的取值范圍為（-∞，-4]∪[-2，

1

2

]

點(diǎn)評(píng)：f（x）＞m恒成立，則m小于f（x）的最小值；
f（x）＜m恒成立，則m大于f（x）的最大值；
f（x）≥m恒成立，則m小于等于f（x）的最小值；
f（x）≤m恒成立，則m大于等于f（x）的最大值．