Question

若整數(shù)n可表示成

n＝a₁＋a₂＋…＋a_k                                                                    (1)

其中a₁，a₂，…，a_k是滿足

的正整數(shù)(不一定相異)，那么，我們稱n是好數(shù)，已知整數(shù)33至73是好數(shù)，證明：每一個不小于33的整數(shù)都是好數(shù)．

Answer 1

證明：我們改證命題

p_n：整數(shù)n，n＋1，…，2n＋7都是好數(shù)．

已知p₃₃為真．

假設(shè)p_n成立，那么n是好數(shù)，即存在正整數(shù)a₁，a₂，…，a_k使(1)、

從而

這表明                        2(a₁＋a₂＋…＋a_k)＋4＋4＝2n＋8

2(a₁＋a₂＋…＋a_k)＋3＋6＝2n＋9

也是好數(shù)，因此P_n成立．根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對所有正整數(shù)n≥33，P_n成立，原命題因而得證．