Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n、a_n、3n成等差數(shù)列（n∈N₊），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知得出S_n+3n=2a_n所以S_n+1+3（n+1）=2a_n+1，兩式相減并整理、構(gòu)造出a_n+1+3=2（a_n+3），通過求出數(shù)列{a_n+3} 的通項(xiàng)公式得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
解答：解：由于S_n、a_n、3n成等差數(shù)列（n∈N₊），
即S_n+3n=2a_{n ①}
所以S_n+1+3（n+1）=2a_n+1，②
②-①得出
a_n+1+3=2a_n+1-2a_n
整理a_n+1=2a_n+3
兩邊同時(shí)加上3得出
a_n+1+3=2（a_n+3）
根據(jù)等比數(shù)列的定義，得出數(shù)列{a_n+3}是以2為公比的等比數(shù)列．
在①中，令n=1得出a₁+3=2a₁，a₁=3 所以a₁+3=6
數(shù)列{a_n+3} 的通項(xiàng)公式為a_n+3=6•2 ^n-1=3•2 ⁿ
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3•2 ⁿ-3
 故答案為：a_n=3•2 ⁿ-3（n∈N₊）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的判定，通項(xiàng)公式求解，以及不等式的解法，考查變形構(gòu)造、計(jì)算能力．一般的形如a_n+1=pa_n+q型遞推公式，均可通過兩邊加上一個(gè)合適的常數(shù)，變形構(gòu)造出一個(gè)新的等比數(shù)列．