設在△ABC中,有cos2A+cos2B+cos2C<1,證明△ABC是一個銳角三角形.

      

思路分析:本題常規(guī)處理的辦法是將條件降次、化積,再確定各角的余弦的正負號.但我們嘗試用反證法,發(fā)現(xiàn)用反證法處理相當簡捷.?

       證明:反設△ABC不是銳角三角形,設C≥,則A+B≤,?

       故A≤-B,從而cosA≥cos(-B)=sinB.?

       所以cos2A+cos2B+cos2C≥sin2B+cos2B+cos2C=1+cos2C≥1.?

       與條件矛盾.?

       故△ABC是銳角三角形.

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

4、在△ABC中，cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC是
等邊三角形
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，cos(A-C)+2cos2
B
2
=
5
2
，三邊a，b，c成等比數(shù)列，求B．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B、C是△ABC的三個內角，y=cotA+
2sinAcosA+cos ( B-C )
．
（1）若△ABC是正三角形，求y的值；
（2）若任意交換△ABC中兩個角的位置，y的值是否變化？證明你的結論；
（3）若△ABC中有一內角為45°，求y的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知A、B、C是△ABC的三個內角，y=cotA+
2sinA
cosA+cos ( B-C )
．
（1）若△ABC是正三角形，求y的值；
（2）若任意交換△ABC中兩個角的位置，y的值是否變化？證明你的結論；
（3）若△ABC中有一內角為45°，求y的最小值．

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