Question

已知向量

OA

=(λsinα，λcosα)，

OB

=(cosβ，sinβ)，且α+β=4．
（1）求

OA

，

OB

的夾角θ的大小；
（2）求|

AB

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積表示出向量的夾角余弦，據(jù)向量夾角的范圍對(duì)λ分類討論求出角θ
（2）利用向量模的平方等于向量的平方表示出模，利用二次函數(shù)的最值的求法求出模的最小值．

解答：解：（1）|

OA

|=|λ|，|

OB

|=1

OA

•

OB

=λ(sinαcosβ+cosαsinβ)=λsin4
cosθ=

OA • OB

| OA || OB|

=

λsin4

|λ|

．
當(dāng)λ＞0時(shí)，cosθ=sin4=cos（4-

π

2

），
因0≤θ≤π，0≤4-

π

2

≤π，故θ=4-

π

2

；
當(dāng)λ＜0時(shí)，cosθ=-sin4=cos(

3π

2

-4)，
因0≤θ≤π，0≤

3π

2

-4≤π，故θ=

3π

2

-4
（2）|

AB

|2=(

OB

-

OA

)2
=

OB

2-2

OB

•

OA

+

OA

2
=λ²-2λsin（α+β）+1
=λ²-2λsin4+cos²4+sin²4
=（λ-sin4）²+cos²4
≥cos²4
所以|

AB

|的最小值為-cos4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量的數(shù)量積求向量的夾角；向量模的平方等于向量的平方；二次函數(shù)最值的求法．