Question

【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，為圓的圓心.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意求得a，b的值即可確定橢圓方程；

（Ⅱ）分類討論，設(shè)直線l代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，可得|AB|，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求出|CD|，再由四邊形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍

試題解析：

（1）由題意知，則，

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而橢圓的左焦點(diǎn)為，即，

所以，又，得．

所以橢圓的方程為：.

（2）可知橢圓右焦點(diǎn)．

（ⅰ）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，此時(shí)不存在，直線l：，直線，

可得：，，四邊形面積為12.

（ⅱ）當(dāng)l與x軸平行時(shí)，此時(shí)，直線，直線，

可得：，，四邊形面積為.

（iii）當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為 ，并設(shè)，.

由得.

顯然，且， .

所以.

過且與l垂直的直線，則圓心到的距離為，

所以.

故四邊形面積：.

可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，四邊形面積的取值范圍為(12,).

綜上，四邊形面積的取值范圍為．