已知數(shù)列{an}中，a1=1，an＜an+1，設(shè)bn=數(shù)學(xué)公式，Sn=b1+b2+…+bn，求證：
（Ⅰ）數(shù)學(xué)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}是公比為q且q≥3的等比數(shù)列，則Sn＜1．

證明：（Ⅰ）由題意可知an＞0
∵
=
=
=．
又an＜an+1，∴，，
，
則．
∴；
（Ⅱ）數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=1，公比為q且q≥3的等比數(shù)列，
∴．
∴．
Sn=b1+b2+…+bn
=
=
=．
∵q≥3，∴．
．
∴．
分析：（Ⅰ）利用作差法證明該不等式，作差后，把bn=代入，通分后進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)an＜an+1判斷差式的符號(hào)；
（Ⅱ）寫出等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，代入bn=后整理得到bn=，利用等比數(shù)列求和得到Sn=．由q≥3利用放縮法可證得Sn＜1．
點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列和不等式的綜合題，訓(xùn)練了作差法證明不等式，考查了數(shù)列的遞推式及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了不等式的基本性質(zhì)，是中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{
2n
an
}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且Sn與
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（　�。�
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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