Question

點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F₁的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若l傾斜角為，則A、B兩點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離之和為，右焦點(diǎn)到l的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)焦距為2a，c＞0，由點(diǎn)（c，0）到y(tǒng)=-x-c距離為，得c=1．左準(zhǔn)線，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，由，得（a²+b²）x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)l：y=k（x+1），k≠0，由，得（2k²+1）x²+4k²x²+2k²-2=0，故，，△=8（k²+1）＞0，所以=2．點(diǎn)O到AB距離為，由此能求出△AOB面積的最大值．
解答：解：（1）設(shè)焦距為2a，c＞0，由點(diǎn)（c，0）到y(tǒng)=-x-c距離為，得c=1．
故左準(zhǔn)線，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
由，
得（a²+b²）x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0，
∴，
∴，
∴a²=2，
∴橢圓的方程為：．
（2）設(shè)l：y=k（x+1），k≠0，
由，得（2k²+1）x²+4k²x²+2k²-2=0，
∵，，△=8（k²+1）＞0，
∴
=
=2．
點(diǎn)O到AB距離為，
∵△AOB面積=，
∴=，
當(dāng)l：x=-1時(shí)，，
故在l：x=-1時(shí)△AOB面積的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程的求法和求△AOB面積的最大值．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．