Question

如圖，在y軸的正半軸上依次有點A₁，A₂，…，A_n，…其中點A₁（0，1），A₂（0，10），且|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|（n=2，3，4，…），在射線y=x（x≥0）上依次有點B₁，B₂，…，B_n，…點B₁的坐標為（3，3），且（n=2，3，4，…）
（1）用含n的式子表示|A_nA_n+1|；
（2）用含n的式子表示A_n，B_n的坐標；
（3）求四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n面積的最大值．

Answer 1

解：（1）∵，∴
（2）由（1）得
∴點A_n的坐標，∵
∵{|OB_n|}是以為首項，為公差的等差數(shù)列∴
∴B_n的坐標為（2n+1，2n+1）
（3）連接A_nB_n+1，設四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n的面積為S_n，則=，
∴，即S_n+1＜S_n，
∴{S_n}單調(diào)遞減．∴S_n的最大值為．
分析：（1）由題意|A_n-1A_n|=3|A_nA_n+1|是一個等比關系，故有公式求其通項即可；
（2）由題意（1）中數(shù)列的前n項和即為A_n的縱坐標，由（n=2，3，4，…）知{|OB_n|}是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故可求得|OB_n|的值，再由
在射線y=x（x≥0）上依次有點B₁，B₂，…，B_n，…即可得出B_n的坐標；
（3）根據(jù)四邊形A_nA_n+1B_n+1B_n的幾何特征，把四邊形的面積分成兩個三角形的面積來求，求出面積的表達式，再作差，確定其單調(diào)性，然后求出最大值．
點評：本題是一個數(shù)列應用題，也是等差等比數(shù)列的一個綜合題，本題有著一個幾何背景，需要做正確的轉化和歸納，才能探究出正確的解決方法．本題是個難題，比較抽象．