Question

若函數(shù)f（x）=e^x-ax（e為自然對(duì)數(shù)的底）
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥1，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，即f（x）的最小值大于等于1，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題．利用導(dǎo)數(shù)求解．

解答：解：（1）由f'（x）=e^x-1知，令f'（x）=e^x-1=0知，x=0，
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（0，+∞），f'（x）＞0，
因此，當(dāng)x=0，函數(shù)f（x）的最小值為f（0）=1；
（2）∵f'（x）=e^x-a，若a≤0，則f'（x）=e^x-a＞0，
∴函數(shù)f（x）=e^x-ax在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，而f（0）=1，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜f（0），即f（x）＜1，這與對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥1相矛盾；
∴a＞0，由f'（x）=e^x-a=0得x=lna，
當(dāng)x∈（-∞，lna）時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f'（x）＞0
所以x=lna時(shí)，f（x）=e^x-ax取得最小值a-alna，
要滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥1，必需且只需a-alna≥1（*）
令φ（x）=x-xlnx，則φ'（x）=-lnx，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ'（x）=-lnx＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，則φ'（x）=-lnx＜0，
則x=1時(shí)，φ（x）=x-xlnx有最大值1，
即對(duì)任意正數(shù)a都有a-alna≤1，（**）當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)等號(hào)成立
由（*）、（**）得a-alna=1，此時(shí)a=1；
綜上：所求實(shí)數(shù)a的值為a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查不等式恒成立問(wèn)題、函數(shù)求最值，以及化歸轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，綜合性強(qiáng)，難度較大．