Question

已知（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展開(kāi)式前三項(xiàng)中的x的系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求展開(kāi)式中所有的x的有理項(xiàng)；
（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由于展開(kāi)式中的前三項(xiàng)系數(shù)為：

c

0 n

，

1

2

c

1 n

，

1

4

c

2 n

，這三數(shù)成等差數(shù)列⇒2×

1

2

c

1 n

=

c

0 n

+

1

4

c

2 n

，從而可求得n，再利用通項(xiàng)求有理項(xiàng)．
（2）令x的冪指數(shù)為整數(shù)，求得r的值，展開(kāi)式中的有理項(xiàng)．
（3）設(shè)第k項(xiàng)的系數(shù)最大，則

Tk的系數(shù)≥Tk+1的系數(shù) Tk的系數(shù)≥Tk-1的系數(shù)

，解得k的范圍，再結(jié)合通項(xiàng)公式以及k為整數(shù)，求得展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：解：（1）∵(

x

+

1

2• 4 x

)n展開(kāi)式中的前三項(xiàng)系數(shù)為：

c

0 n

，

1

2

c

1 n

，

1

4

c

2 n

，
這三數(shù)成等差數(shù)列⇒2×

1

2

c

1 n

=

c

0 n

+

1

4

c

2 n

，即n²-9n+8=0，
∴n=8或n=1（舍去），∴n=8；
∵展開(kāi)式的通項(xiàng)公式T_r+1=

C

r 8

•(x

1

2

)8-r•(

1

2

)r•(x-

1

4

)r=

C

r 8

•(

1

2

)r•x

16-3r

4

，
∴要使T_r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，則

16-3r

4

∈z，
∴r=0，4，8．
∴有理項(xiàng)為：T₁=x⁴，T₅=

C

4 8

•(

1

2

)4•x=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2．
（2）設(shè)第k項(xiàng)的系數(shù)最大，則有

C k-1 8 •( 1 2 )k-1 ≥C k 8 •( 1 2 )k C k-1 8 •( 1 2 )k-1 ≥C k-2 8 •( 1 2 )k-2

，解得 3≤k≤4，
故系數(shù)最大的項(xiàng)為第三項(xiàng)T₃=7x

5

2

 和 第四項(xiàng)T₄=7x

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用及等差數(shù)列的性質(zhì)，考查組合數(shù)的計(jì)算公式，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式．