已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值為正數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】分析：（Ⅰ根據(jù)不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）得出x=1和x=3是方程ax2+（b+2）x+c=0（a＜0）的兩根列出關(guān)于a，b的等式再根據(jù)方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根得到：△=0求得a值，從而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax2-2（2a+1）x+3a配方后即可求得其最大值為再由題意得出關(guān)于a的不等關(guān)系，即可求得a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）
∴x=1和x=3是方程ax2+（b+2）x+c=0（a＜0）的兩根
∴
∴b=-4a-2，c=3a
又方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根
∴△=b2-4a（c+6a）=0
∴4（2a+1）2-4a×9a=0
∴（5a+1）（1-a）=0
∴或a=1（舍）
∴
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax2-2（2a+1）x+3a==
∵a＜0，
∴f（x）的最大值為
∵f（x）的最大值為正數(shù)
∴
∴解得或
∴所求實(shí)a的取值范圍是
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的最值及其幾何意義、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度為b-a．問(wèn)：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長(zhǎng)度為12-t？請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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