Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的定義域為（2）的取值范圍是

【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對于任意，都有，轉(zhuǎn)化為，多次構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值可求函數(shù)求實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，

函數(shù)的導數(shù)，

因為，

所以當時， ，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當時， ，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）當時，由（1）知在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞減，

所以對任意的，都有，

因為對任意的，都有，

所以，即，得，

所以當時，對于任意的，都有，

當時， ，由（1）得在上單調(diào)遞增，

所以對于任意，有，

因為對于任意，都有，

所以，即，

設，則，

設，

則，所以在上單調(diào)遞減，

則當時， ，

此時不等式不成立，

綜上，所求的取值范圍是.