Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>（2）的取值范圍是

【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對(duì)于任意，都有，轉(zhuǎn)化為，多次構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值可求函數(shù)求實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞減，

所以對(duì)任意的，都有，

因?yàn)閷?duì)任意的，都有，

所以，即，得，

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，都有，

當(dāng)時(shí)， ，由（1）得在上單調(diào)遞增，

所以對(duì)于任意，有，

因?yàn)閷?duì)于任意，都有，

所以，即，

設(shè)，則，

設(shè)，

則，所以在上單調(diào)遞減，

則當(dāng)時(shí)， ，

此時(shí)不等式不成立，

綜上，所求的取值范圍是.