已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【答案】分析：（1）由f（e）=2計(jì)算可得b的值；
（2）由（1）可得f（x）=-ax+2+axlnx，故f′（x）=alnx，分類討論：當(dāng)a＞0，a＜0時(shí)，分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0解不等式可得對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（1）由f（e）=2可得-ae+b+aelne=b=2，
故實(shí)數(shù)b的值為2；
（2）由（1）可得f（x）=-ax+2+axlnx，
故f′（x）=-a+alnx+ax•=alnx，因?yàn)閍≠0，
故①當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0可得x＞1，由f′（x）＜0可得0＜x＜1；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，由f′（x）＜0可得x＞1；
綜上可得：當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞），；
點(diǎn)評(píng)：本題考查利導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及分類討論的思想，屬中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（I）求實(shí)數(shù)b的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（III）當(dāng)a=1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M（m＜M），使得對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[
1e
，e]）都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a、b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=
x
ax+b
，且f（3）=1，又方程f（x）=x有唯一解．
（I）求f（x）的解析式及方程f（x）=x的解；
（Ⅱ）當(dāng)xn=f（xn-1）（n＞1），數(shù)列{
1
xn
}是何數(shù)列？請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[
1e
，e]））有公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•河?xùn)|區(qū)一模）已知a、b為常數(shù)，且
lim
x→1
x+a
-b
x-1
=
1
4
，則ab=
6
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•河?xùn)|區(qū)二模）已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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