Question

已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E為AB的中點．
（1）證明：DC⊥平面PDE；
（2）若PD=

3

AD，求面DEP與面BCP所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)底面為含有60度的菱形，得△DAB為正三角形，從而得到AB⊥DE，結(jié)合PD⊥AB利用線面垂直判定定理，即可證出DC⊥平面PDE；
（2）分別以DE，DB，DP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面DEP與面BCP的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴PD⊥AB
連接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°
∴△DAB為等邊三角形…（2分）
又∵E為AB的中點
∴AB⊥DE
又∵PD∩DE=D
∴AB⊥底面PDE…（4分）
∵AB∥CD
∴CD⊥底面PDE…（6分）
解：（2）如圖，分別以DE，DB，DP所在直線為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)AD=a，則PD=

3

a
∴D(0，0，0)，B(

3

2

a，

1

2

a，0)，C(0，a，0)，P(0，0，

3

a)…（8分）
由(1)知面PDE的法向量

DC

=(0，a，0)．
設(shè)面PBC的法向量

n

=(x，y，z)
則

BC • n =0 PC • n =0

又∵

BC

=(-

3

2

a，

1

2

a，0)，

PC

=(0，a，-

3

a)
∴

- 3 2 ax+ 1 2 ay=0 ay- 3 az=0

令x=1，則y=

3

，z=1
∴

n

=(1，

3

，1)…（10分）
∴cos＜

DC

，

n

＞=

DC • n

| DC |•| n|

=

3 a

a• 5

=

15

5

∴面PDE與面PBC所成角的余弦值為

15

5

…（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，熟練掌握線面垂直的判定定理是解答（1）的關(guān)鍵，建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，是解答的關(guān)鍵．