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設P為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上的一個點，過點P作橢圓的切線與⊙O：x2+y2=12相交于M，N兩點，⊙O在M，N兩點處的切線相交于點Q．（1）若點P坐標為(m，
3
2
)，求直線MN的方程．（2）若P為橢圓上的一個動點，求點Q的軌跡方程．
分析：（1）因為P為橢圓上的一點，所以把y=
3
2
代入橢圓，可求P點坐標，進而分類討論：當P點為（1，
3
2
）時，因為直線MN是過P點，且與橢圓相切的，直線方程與橢圓
x2
4
+
y2
3
=1聯立，判別式等于0，可求直線側斜率；同理可求當P點為（-1，
3
2
）時，直線的方程；
（2）設點P（x0，y0），Q（x1，y1），可得橢圓
x2
4
+
y2
3
=1在P處的切線方程為
x0x
4
+
y0 y
3
=1，又可知切點弦MN所在直線的方程為x1x+y1y=12，由于表示相同直線，故可得坐標關系，從而可求點Q的軌跡方程．
解答：解：（1）因為P為橢圓上的一點，所以把y=
3
2
代入橢圓，得橫坐標為1或-1
所以P點坐標（1，
3
2
）或（-1，
3
2
）
當P點為（1，
3
2
）時，因為直線MN是過P點，且與橢圓相切的，所以設y-1.5=k（x-1），與橢圓
x2
4
+
y2
3
=1聯立，判別式等于0，即（4k2+3）x2+（-8k2+12k）x+（4k2-12k-3）=0，則k=-0.5，所以直線MN為x+2y-4=0
當P點為（-1，
3
2
）時，因為直線MN是過P點，且與橢圓相切的，所以設y-1.5=k（x+1），與橢圓
x2
4
+
y2
3
=1聯立，判別式等于0，即（4k2+3）x2+（8k2+12k）x+（4k2+12k-3）=0，則k=0.5，所以直線MN為x-2y+2=0
（2）設點P（x0，y0），Q（x1，y1）
∵P為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上的一個點，∴
x 02
4
+
y 02
3
=1
∵橢圓
x2
4
+
y2
3
=1在P處的切線方程為
x0x
4
+
y0 y
3
=1
又QM，QN為過點Q所引的⊙O：x2+y2=12的兩條切線，可知切點弦MN所在直線的方程為x1x+y1y=12
∴
x0
4
x1
=
y0
3
y1
=
1
12

故x0=
x1
3
，y0=
y1
4

∴
x
2
1
36
+
y
2
1
48
=1
∴點Q的軌跡方程
x
2
 
36
+
y
2
 
48
=1．
點評：本題以圓與橢圓為載體，綜合考查軌跡問題，考察學生分析解決問題的能力，難度較大．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設圓C1：x2+y2-10x-6y+32=0，動圓C2：x2+y2-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
（Ⅰ）求證：圓C1、圓C2相交于兩個定點；
（Ⅱ）設點P是橢圓
x24
+y2=1上的點，過點P作圓C1的一條切線，切點為T1，過點P作圓C2的一條切線，切點為T2，問：是否存在點P，使無窮多個圓C2，滿足PT1=PT2？如果存在，求出所有這樣的點P；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：
x24
+y2=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N；
（I）設直線AP、BP的斜率分別為k1，k2求證：k1•k2為定值；
（Ⅱ）求線段MN長的最小值；
（Ⅲ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設P是橢圓C上任意一點，若
OP
=m
OA
+n
OB
，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，雙曲線C1：
x2
4
-
y2
b2
=1與橢圓C2：
x2
4
+
y2
b2
=1（0＜b＜2）的左、右頂點分別為A1、A2第一象限內的點P在雙曲線C1上，線段OP與橢圓C2交于點A，O為坐標原點．
（I）求證：
kAA1+kAA2
kPA1+kPA2
為定值（其中kAA1表示直線AA1的斜率，kAA2等意義類似）；
（II）證明：△OAA2與△OA2P不相似．
（III）設滿足{（x，y）|
x2
4
-
y2
m2
=1，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|
x2
4
-
y2
3
＞1，x∈R，y∈R} 的正數m的最大值是b，求b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•重慶一模）已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1d的右焦點，點A、B為拋物線上的兩點，O是拋物線的頂點，OA⊥OB．
（I）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）求證：直線AB過定點M（4，0）；
（III）設弦AB的中點為P，求點P到直線x-y=0的最小值．

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