Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，點(diǎn)P在平面BCC₁B₁內(nèi)，PB1=PC1=

2

．
（1）求證：PA₁⊥BC；
（2）求二面角C₁-PA₁-A．

Answer 1

分析：（1）要證直線與直線垂直，首先把一個(gè)直線放到一個(gè)已知平面上，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理做出線與面垂直，進(jìn)而證得線與線垂直．
（2）以點(diǎn)D₁為坐標(biāo)原點(diǎn)，D₁B₁，D₁A₁，D₁P所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標(biāo)系D₁-xyz，平面PAA₁所在平面為坐標(biāo)平面yOz，取平面PAA₁的一個(gè)法向量，根據(jù)兩個(gè)向量之間的夾角得到二面角的大�。�

解答：解：（1）證明：設(shè)B₁C₁的中點(diǎn)為D₁，∵PB₁=PC₁，∴PD₁⊥B₁C₁，
又∵△A₁B₁C₁是正三角形，∴A₁D₁⊥B₁C₁，∴B₁C₁⊥平面PA₁D₁，
∴PA₁⊥B₁C₁，
又∵BC∥B₁C₁，∴PA₁⊥BC；
（2）∵平面PB₁BCC₁⊥平面A₁B₁C₁，∴PD₁⊥平面A₁B₁C₁，
又∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴A，A₁，P，D₁四點(diǎn)共面，
如圖，以點(diǎn)D₁為坐標(biāo)原點(diǎn)，D₁B₁，D₁A₁，D₁P所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標(biāo)系D₁-xyz，
平面PAA₁所在平面為坐標(biāo)平面yOz，取平面PAA₁的一個(gè)法向量

m

=(1，0，0)
由PC1=PB1=

2

，B1C1=2得到PD₁=1，
由A₁B₁=B₁C₁=C₁A₁=2得到A1D1=

3

，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，1），點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為(0，

3

，0)，
點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（-1，0，0），
設(shè)平面PC₁A₁的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n

•

PA1

=(x，y，z)•(0，

3

，-1)=0，所以z=

3

y

n

•

PC1

=(x，y，z)•(-1，0，-1)=0，所以x=-z，
令y=1，則

n

=(-

3

，1，

3

)，
cos?

m

，

n

＞=

- 3

7

=-

21

7

，
即所求二面角是arccos

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角的問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是建立合適的坐標(biāo)系，把邏輯性很強(qiáng)的理論推導(dǎo)轉(zhuǎn)化成數(shù)字的運(yùn)算，降低了題目的難度．