Question

已知常數(shù)a＞0且a≠1，變數(shù)x、y滿足 3log_xa+log_ax-log_xy=3
（1）若x=a^t（t≠0），試以a、t表示y．
（2）若t∈{t|t²-4t+3≤0}時(shí)，y有最小值8，求a和x的值．

Answer 1

分析：（1）由題意利用換底公式可得 log_ay=(logax)2-3log_ax+3，再由x=a^t（t≠0），可得 log_ax=t，由此可用a、t表示y．
（2）由t²-4t+3≤0可得 1≤t≤3．分0＜a＜1和a＞1兩種情況，并根據(jù)y有最小值8，求得a的值，由此求得對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）∵3log_xa+log_ax-log_xy=3，由換底公式可得

3

logax

+log_ax-

logay

logax

=3，
解得 log_ay=(logax)2-3log_ax+3．
若x=a^t（t≠0），則 log_ax=t，
∴l(xiāng)og_ay=t²-3t+3，∴y=a(t2-3t+3)．
（2）由t²-4t+3≤0可得 1≤t≤3．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由于y有最小值8，故函數(shù)u=t²-3t+3=(t-

3

2

)2+ 

3

4

 必有最大值，故當(dāng) t=3時(shí)，函數(shù)u取得最大值為3，即 a³=8，a=2，這與0＜a＜1矛盾．
當(dāng)a＞1時(shí)，由于y有最小值8，故函數(shù)u=t²-3t+3=(t-

3

2

)2+ 

3

4

必有最小值，故當(dāng) t=

3

2

時(shí)，函數(shù)u取得最小值為

3

4

，即a

3

4

=8，a=16，此時(shí)x=64．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．