如圖把函數(shù)f1(x)=x，f2(x)=x-
x3
6
，f3(x)=x-
x3
6
+
x5
120
，f4(x)=x-
x3
6
+
x5
120
-
x7
5040
，f5(x)=x-
x3
6
+
x5
120
-
x7
5040
+
x9
362880
，依次稱為f（x）=sinx在[0，π]上的第1項、2項、3項、4項、5項多項式逼近函數(shù)．以此類推，請將f（x）=sinx的n項多項式逼近函數(shù)fn（x）在橫線上補充完整：fn(x)=
2n-1
k=1
 （
sin(
kπ
2
)
xk
k!
sin(
kπ
2
)
xk
k!
） （n，k∈N+）．
分析：由函數(shù)f（x）=sinx的第1項、2項、3項、4項、5項多項式逼近函數(shù)，分析各項中符號，分子，分母的變化規(guī)律，歸納推理后可得f（x）=sinx的n項多項式逼近函數(shù)fn（x）的解析式
解答：解：由函數(shù)f（x）=sinx的第1項、2項、3項、4項、5項多項式逼近函數(shù)
f1（x）=x
f2(x)=x-
x3
6

f3(x)=x-
x3
6
+
x5
120

f4(x)=x-
x3
6
+
x5
120
-
x7
5040

f5(x)=x-
x3
6
+
x5
120
-
x7
5040
+
x9
362880
，
…
可得函數(shù)的解析式中共有2n-1項，其中各項符號由sin(
kπ
2
)確定；
分子為xk，分母為k!（k的階乘）
故可歸納推理為：fn(x)=
2n-1
k=1
 sin(
kπ
2
)
xk
k!

故答案為：sin(
kπ
2
)
xk
k!
（答案不唯一，也可為cos(
(k-1)π
2
)
xk
k!
，
(ik-1+(-i)k-1)
2
xk
k!
（i為虛數(shù)單位）等）
點評：本題考查的知識點是歸納推理，其中根據(jù)函數(shù)f（x）=sinx的第1項、2項、3項、4項、5項多項式逼近函數(shù)，分析各項中符號，分子，分母的變化規(guī)律是解答的關鍵．
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