長為2的線段AB的兩個端點在拋物線y2=x上滑動，則線段AB中點M到y(tǒng)軸距離的最小值是
3
4
3
4
．
分析：設(shè)A、B、M拋物線的準線上的射影分別為C、D、N，連結(jié)AC、BD、MN．根據(jù)梯形中位線定理證出|MN|=
1
2
（|AC|+|BD|），利用拋物線的定義得|AC|+|BD|=|AF|+|BF|，由此結(jié)合平面幾何的知識證出|MN|≥
1
2
|AB|=1，即可求出AB中點M到y(tǒng)軸距離的最小值．
解答：解：設(shè)拋物線的準線為l，A、B、M在l上的射影分別為C、D、N，連結(jié)AC、BD、MN．
由梯形的中位線定理，可得|MN|=
1
2
（|AC|+|BD|）
連結(jié)AF、BF，根據(jù)拋物線的定義得|AF|=|AC|，|BF|=|BD|
根據(jù)平面幾何知識，可得|AF|+|BF|≥|AB|，
當且僅當點F在AB上時取等號
∴|AC|+|BD|≥|AB|=2，
可得|MN|=
1
2
（|AC|+|BD|）≥
1
2
|AB|=1
設(shè)M的橫坐標為a，則|MN|=a+
1
4
≥1，得a≥
3
4
．
因此，當且僅當線段AB為拋物線經(jīng)過焦點的弦時，
AB中點M到y(tǒng)軸距離的最小值為
3
4

故答案為：
3
4
點評：本題給出拋物線長度為2的弦，當弦在拋物線上滑動時求它的中點到y(tǒng)軸的最小距離．著重考查了拋物線的定義、標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

長為3的線段AB的兩個端點A，B分別在x，y軸上移動，點P在直線AB上且滿足
BP
=2
PA
．
（ I）求點P的軌跡的方程；
（ II）記點P軌跡為曲線C，過點Q（2，1）任作直線l交曲線C于M，N兩點，過M作斜率為-
1
2
的直線l'交曲線C于另一R點．求證：直線NR與直線OQ的交點為定點（O為坐標原點），并求出該定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

長為3的線段AB的兩個端點A，B分別在x，y軸上移動，點P在直線AB上且滿足數(shù)學公式．
（ I）求點P的軌跡的方程；
（ II）記點P軌跡為曲線C，過點Q（2，1）任作直線l交曲線C于M，N兩點，過M作斜率為數(shù)學公式的直線l'交曲線C于另一R點．求證：直線NR與直線OQ的交點為定點（O為坐標原點），并求出該定點．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省期末題 題型：解答題

長為3的線段AB的兩個端點A，B分別在x，y軸上移動，點P在直線AB上且滿足，
（Ⅰ）求點P的軌跡的方程；
（Ⅱ）記點P軌跡為曲線C，過點Q（2，1）任作直線l交曲線C于M，N兩點，過M作斜率為的直線l′交曲線C于另一點R。求證：直線NR與直線OQ的交點為定點（O為坐標原點），并求出該定點。

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年安徽省安慶市太湖二中高三（上）月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

長為3的線段AB的兩個端點A，B分別在x，y軸上移動，點P在直線AB上且滿足．
（ I）求點P的軌跡的方程；
（ II）記點P軌跡為曲線C，過點Q（2，1）任作直線l交曲線C于M，N兩點，過M作斜率為的直線l'交曲線C于另一R點．求證：直線NR與直線OQ的交點為定點（O為坐標原點），并求出該定點．

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