Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx-ax在（0，1）上是增函數(shù)．
（1）求a的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=e^2x-ae^x-1，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，分離出a，利用基本不等式求出函數(shù)的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范圍．
（2）通過函數(shù)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過對(duì)對(duì)稱軸與定義域位置關(guān)系的討論，分情況求出函數(shù)的最小值．
解答：解：（1），
∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴在（0，1）上恒成立，
即恒成立，
∴只需即可．
∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
∴
（2）設(shè)e^x=t，∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．
設(shè)，
其對(duì)稱軸為 ，由（1）得，
∴
則當(dāng)，即時(shí)，h（t）的最小值為
當(dāng)，即a＜2時(shí)，h（t）的最小值為h（1）=-a
所以，當(dāng)時(shí)，g（x）的最小值為，
當(dāng)a＜2時(shí)，g（x）的最小值為-a
點(diǎn)評(píng)：解決函數(shù)的單調(diào)性已知求參數(shù)的范圍問題，常求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于（或小于等于）0恒成立；解決不等式恒成立問題常分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；通過換元法解題時(shí)，一定注意新變量的范圍．