Question

已知數列{a_n}滿足（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₂=6，設b_n=a_n+n（n∈N*）．
（1）求{b_n}的通項公式；
（2）求

lim

n→∞

（

1

b2-2

+

1

b3-2

+

1

b4-2

+…+

1

bn-2

）的值．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是數學歸納法及極限的運算．
（1）由數列{a_n}滿足（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₂=6，設b_n=a_n+n（n∈N*）．我們不難給出數列{b_n}的前若干項，并能由此歸納推理出數列的通項公式，但歸納推理的結論不一定正確，我們可以用數學歸納學進行證明．
（2）由（1）的結論，結合數列求和的裂項法，我們不難對

lim

n→∞

（

1

b2-2

+

1

b3-2

+

1

b4-2

+…+

1

bn-2

）進行化簡，進而求出

lim

n→∞

（

1

b2-2

+

1

b3-2

+

1

b4-2

+…+

1

bn-2

）的值．

解答：解：（1）n=1時，由（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），得a₁=1．
n=2時，a₂=6代入得a₃=15．同理a₄=28，
再代入b_n=a_n+n，有b₁=2，b₂=8，b₃=18，b₄=32，由此猜想b_n=2n²．
要證b_n=2n²，只需證a_n=2n²-n．
①當n=1時，a₁=2×1²-1=1成立．
②假設當n=k時，a_k=2k²-k成立．
那么當n=k+1時，由（k-1）a_k+1=（k+1）（a_k-1），得a_k+1=

k+1

k-1

（a_k-1）
=

k+1

k-1

（2k²-k-1）=

k+1

k-1

（2k+1）（k-1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）²-（k+1）．
∴當n=k+1時，a_n=2n²-n正確，從而b_n=2n²．
（2）

lim

n→∞

（

1

b2-2

+

1

b3-2

+…+

1

bn-2

）
=

lim

n→∞

（

1

6

+

1

16

+…+

1

2n2-2

）
=

1

2

lim

n→∞

[

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

(n-1)(n+1)

]
=

1

4

lim

n→∞

[1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

]
=

1

4

lim

n→∞

[1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

]
=

3

8

．

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．但歸納推理的結論不一定正確，我們要利用數學歸納法等方法對歸納的結論進行進一步的論證．