Question

已知函數(shù)f(x)=3sin(

x

2

+

π

6

)+3
（1）指出f（x）的最小正周期，并用五點(diǎn)法畫出它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象；
（2）求f（x）在[0，4π]上的單調(diào)區(qū)間；并求出f（x）在[0，4π]上最大值及其對(duì)應(yīng)x的取值集合；
（3）說明此函數(shù)圖象可由y=sinx在[0，2π]上的圖象經(jīng)怎樣的變換得到．

Answer 1

分析：（1）利用周期公式可求周期，利用五點(diǎn)法，可得函數(shù)的圖象；
（2）利用函數(shù)的圖象，可得f（x）在[0，4π]上的單調(diào)區(qū)間，f（x）在[0，4π]上最大值及其對(duì)應(yīng)x的取值集合；
（3）利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答：解：（1）f（x）的最小正周期為周期T=4π；…（1分）；
列表如下

x	- π 3	2π 3	5π 3	8π 3	11π 3
x 2 + π 6	0	π 2	π	3 2 π	2π
y	3	6	3	0	3

…（3分）；

…（5分）；
（2）增區(qū)間為[0，

2π

3

]和[

8π

3

，4π]；減區(qū)間為[

2π

3

，

8π

3

]；f（x）在[0，4π]上的最大值為6，此時(shí)x的取值集合為{

2π

3

}；…（8分）；
（3）①由y=sinx的圖象上各點(diǎn)向左平移?=

π

6

個(gè)長度單位，得y=sin(x+

π

6

)的圖象；
②由y=sin(x+

π

6

)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得y=sin(

x

2

+

π

6

)的圖象；
③由y=sin(

x

2

+

π

6

)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），得y=3sin(

x

2

+

π

6

)的圖象；
④由y=3sin(

x

2

+

π

6

)的圖象上各點(diǎn)向上平移3個(gè)長度單位，得y=3sin(

x

2

+

π

6

)+3的圖象．…（12分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．