函數(shù)f（x）=ax3+bx（a≠0）圖象在點（1，f（1））處的切線與直線6x+y+7=0平行，導函數(shù)f′（x）的最小值為-12．
（1）求a、b的值；
（2）討論方程f（x）=m解的情況（相同根算一根）．
【答案】分析：（1）利用f′（x）=3ax2+b的最小值為-12，可知b=-12，且a＞0，根據(jù)直線6x+y+7=0的斜率為-6，可得f'（1）=3a+b=-6，所以a=2；
（2）由（1）知f（x）=2x3-12x，，從而可求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，）和，進而可知f（x）在時取得極大值為，f（x）在時取得極小值為，由此可確定方程解的情況．
解答：解：（1）∵f′（x）=3ax2+b的最小值為-12
∴b=-12，且a＞0
又直線6x+y+7=0的斜率為-6
∵函數(shù)f（x）=ax3+bx（a≠0）圖象在點（1，f（1））處的切線與直線6x+y+7=0平行
∴f'（1）=3a+b=-6
∴a=2
∴a=2，b=-12
（2）由（1）知f（x）=2x3-12x，，列表如下：
x（-∞，）
f′+-+
f（x）↗極大值↘極小值↗
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，）和
∴f（x）在時取得極大值為，f（x）在時取得極小值為
∴當或時，方程有一根；
當或時，方程有兩個根；
當時，方程有三個根
點評：本題以導函數(shù)為載體，考查導數(shù)知識的應用，考查方程解的討論，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的極值，從而確定方程解的情況．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有下列命題：
①若f（x）存在導函數(shù)，則f′（2x）=[f（2x）]′．
②若函數(shù)h（x）=cos4x-sin4x，則h′(
π12
)=1；
③若函數(shù)g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），則g′（2010）=2009!．
④若三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值點”的充要條件．
其中真命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

18、已知函數(shù)f（x）=ax3-6ax2+b（x∈[-1，2]）的最大值為3，最小值為-29，求a、b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定義：（1）設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)y=f′（x）的導數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”；
定義：（2）設(shè)x0為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對于定義域內(nèi)的一切實數(shù)x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（x0，f（x0））對稱．
己知f（x）=x3-3x2+2x+2，請回答下列問題：
（1）求函數(shù)f（x）的“拐點”A的坐標
 
；
（2）檢驗函數(shù)f（x）的圖象是否關(guān)于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數(shù)寫出一個有關(guān)“拐點”的結(jié)論
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=ax3-2x2+a2x在x=1處有極小值，則實數(shù)a等于
1
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知下表為函數(shù)f（x）=ax3+cx+d部分自變量取值及其對應函數(shù)值，為了便于研究，相關(guān)函數(shù)值取非整數(shù)值時，取值精確到0.01．
x -0.61 -0.59 -0.56 -0.35 0 0.26 0.42 1.57 3.27
y 0.07 0.02 -0.03 -0.22 0 0.21 0.20 -10.04 -101.63
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，研究該函數(shù)的一些性質(zhì)：
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）在[0.55，0.6]上是否存在零點，并說明理由．

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