Question

如圖，斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，側面AA₁C₁C⊥底面ABC，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，側面AA₁C₁C是菱形，∠A₁AC=60°，E、F分別是A₁C₁、AB的中點．
求證：
（1）EC⊥平面ABC；
（2）求三棱錐A₁-EFC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）在平面AA₁C₁C內，作A₁O⊥AC，O為垂足．易得四邊形OCEA₁為平行四邊形，進而可得EC∥A₁O，且EC=A₁O．再由已知和面面垂直的性質可得所以A₁O⊥底面ABC，進而可得結論；
（2）F到平面A₁EC的距離等于B點到平面A₁EC距離BO的一半，可得BO=，所以，代入數(shù)據(jù)計算可得．
解答：證明：（1）在平面AA₁C₁C內，作A₁O⊥AC，O為垂足．
因為，所以，
即O為AC的中點，所以OC∥A₁E，且OC=A₁E…（3分）
可得四邊形OCEA₁為平行四邊形，故EC∥A₁O，且EC=A₁O．
因為側面AA&₁C₁C⊥底面ABC，交線為AC，A₁O⊥AC，
所以A₁O⊥底面ABC．所以EC⊥底面ABC．…（6分）
（2）F到平面A₁EC的距離等于B點到平面A₁EC距離BO的一半，而BO=．…（8分）
所以．…（12分）
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，涉及三棱錐體積的求解，屬中檔題．