Question

已知f（x）是一個定義在R上的函數(shù)，求證：
（1）g（x）=f（x）+f（-x）是偶函數(shù)；
（2）h（x）=f（x）-f（-x）是奇函數(shù)；
（3）請舉一個具體的函數(shù)f（x），并寫出由它構成的一個偶函數(shù)和一個奇函數(shù)．

Answer 1

解：（1）因為x∈R，g（-x）=f（-x）+f[-（-x）]=f（-x）+f（x）=g（x）
所以g（x）=f（x）+f（-x）是偶函數(shù)．
（2）因為x∈R，h（-x）=f（-x）-f[-（-x）]
=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-h（x）
所以h（x）=f（x）-f（-x）是奇函數(shù)．
（3）如：f（x）=2^x，由（1）、（2）可得：偶函數(shù)：g（x）=2^x+2^-x
奇函數(shù)：h（x）=2^x-2^-x
答案不唯一．
分析：（1）由f（x）的定義域為R，則知g（x）的定義域也為R，關于原點對稱，只要看g（-x）與g（x）的關系即可．
（2）由f（x）的定義域為R，則知h（x）的定義域也為R，關于原點對稱，只要看h（-x）與h（x）的關系即可．
（3）按照（1）（2）的條件去找，找的方向應該也從定義域為R的基本函數(shù)入手．
點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷方法，要先看定義域，再看-x與x對應函數(shù)值之間的關系．