已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)的一條漸近線方程為y=
3
x，O為坐標原點，點M(-
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P、Q兩點，以弦PQ為直徑的圓經過原點O．證明：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
為定值，并求|OP|2+|OQ|2的最小值．
分析：（1）由雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)的一條漸近線方程為y=
3
x，設雙曲線方程為（y+
3
x）（y-
3
x）=λ，λ≠0，由點M(-
5
，
3
)在雙曲線上，能求出雙曲線方程．
（2）由直線l與雙曲線交于P、Q兩點，以弦PQ為直徑的圓經過原點O，知OP⊥OQ，設直線OP的方程為y=kx，（k≠0），代入
x2
4
-
y2
12
=1中，得
x2=
12
3-k2
y2=
12k2
3-k2
，由此能夠證明
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
為定值，并能求出|OP|2+|OQ|2的最小值．
解答：解：（1）∵雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)的一條漸近線方程為y=
3
x，
∴設雙曲線方程為（y+
3
x）（y-
3
x）=λ，λ≠0
即y2-3x2=λ，
∵O為坐標原點，點M(-
5
，
3
)在雙曲線上，
∴（
3
）2-3（-
5
）2=λ，解得λ=-12，
∴雙曲線方程為y2-3x2=-12，即
x2
4
-
y2
12
=1．
（2）∵直線l與雙曲線交于P、Q兩點，以弦PQ為直徑的圓經過原點O，
∴OP⊥OQ，
設直線OP的方程為y=kx，（k≠0）
代入
x2
4
-
y2
12
=1中，得
x2=
12
3-k2
y2=
12k2
3-k2
，
∴|OP|2=x2+y2=
12(k2+1)
3-k2
，
同理，得|OQ|2=
12(1+
1
k2
)
3-
1
k2
=
12(k2+1)
3k2-1
•
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
=
2+2k2
12(k2+1)
=
1
6
，
設|OP|2+|OQ|2=t，則t（
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
）=2+
|OP|2
|OQ|2
+
|OQ|2
|OP|2
≥2+2=4，
∴t≥
4
1
6
=24，即（|OP|2+|OQ|2）min=24，
當且僅當|OP|=|OQ|=2
3
時，取等號．
點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查定值的證明和最小值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
7
=1，直線l過其左焦點F1，交雙曲線的左支于A、B兩點，且|AB|=4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點，△ABF2的周長為20，則此雙曲線的離心率e=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，且該雙曲線的離心率為
5
，則該雙曲線的漸近線方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O為坐標原點，離心率e=2，點M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且
OP
•
OQ
=0．問：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值？若是請求出該定值，若不是請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R），則該直線過定點
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x，則雙曲線的離心率為
5
3
5
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）滿足| 
a1
b
2
 |=0，且雙曲線的右焦點與拋物線y2=4
3
x的焦點重合，則該雙曲線的方程為
 
．

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