Question

已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物．血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患�。�下面是兩種化驗方案：
方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止．
方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗．若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗．
求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率．

Answer 1

分析：（解法一）主要依乙所驗的次數分類，并求出每種情況下被驗中的概率，再求甲種方案的次數不少于乙種次數的概率；
（解法二）先求所求事件的對立事件即甲的次數小于乙的次數，再求出它包含的兩個事件“甲進行的一次即驗出了和甲進行了兩次，乙進行了3次”的概率，再代入對立事件的概率公式求解．

解答：解：（解法一）：主要依乙所驗的次數分類：
若乙驗兩次時，有兩種可能：
①先驗三只結果為陽性，再從中逐個驗時，恰好一次驗中概率為：

C 2 4 A 3 3

A 3 5

 ×

1

A 1 3

 =

6×6

3×4×5

×

1

3

=

1

5

（也可以用

C 2 4

C 3 5

×

1

C 1 3

=

6

10

×

1

3

=

1

5

）
②先驗三只結果為陰性，再從其它兩只中驗出陽性（無論第二次驗中沒有，均可以在第二次結束）

A 3 4

A 3 5

A 1 2

A 2 2

=

24

5×3×4

=

2

5

（

C 3 4

C 3 5

=

4

10

×

1

2

=

1

5

）
∴乙只用兩次的概率為

1

5

+

2

5

=

3

5

．
若乙驗三次時，只有一種可能：
先驗三只結果為陽性，再從中逐個驗時，恰好二次驗中概率為：∴在三次驗出時概率為

2

5

∴甲種方案的次數不少于乙種次數的概率為：

3

5

×(1-

1

5

)+

2

5

(1-

1

5

-

1

5

)=

12

25

+

6

25

=

18

25

（解法二）：設A為甲的次數不小于乙的次數，則

.

A

表示甲的次數小于乙的次數，
則只有兩種情況，甲進行的一次即驗出了和甲進行了兩次，乙進行了3次．
則設A₁，A₂分別表示甲在第一次、二次驗出，并設乙在三次驗出為B
則P(A1)=

1

C 1 5

=

1

5

，P(A2)=

A 1 4

A 2 5

=

1

5

，P(B)=

C 2 4

C 3 5

(1-

1

C 1 3

)=

6

10

×

2

3

=

2

5

∴P(

.

A

)=P(A1)+P(A2)•P(B)=

1

5

+

1

5

×

2

5

=

7

25

∴P(A)=1-

7

25

=

18

25

點評：本題考查了用計數原理來求事件的概率，并且所求的事件遇過于復雜的，要主動去分析和應用對立事件來處理．