對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),給出下列命題:
①若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件f(x-1)+f(1-x)=2,則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng);
②若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件f(x-1)=f(1-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);
③在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)其圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng);
④在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=f(1+x)與y=f(1-x)其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).
其中,真命題的個(gè)數(shù)是( 。
分析:①取點(diǎn)(x,f(x)),則關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,2-f(x)),利用條件可得結(jié)論;
②令t=1-x,有f(t)=f(-t),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y軸對(duì)稱(chēng);
③f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=0對(duì)稱(chēng),利用圖象的變換,可得結(jié)論;
④在同一坐標(biāo)系中,點(diǎn)(x,y)在函數(shù)y=f(1+x)的圖象上,則(-x,y)在y=f(1-x)的圖象上,可得結(jié)論.
解答:解:①取點(diǎn)(x,f(x)),則關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,2-f(x))
∴2-f(x)=f(-x)
∵f(x-1)+f(1-x)=2,∴f(x)+f(-x)=2,∴2-f(x)=f(-x),即①正確;
②若f(1-x)=f(x-1),令t=1-x,有f(t)=f(-t),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y軸對(duì)稱(chēng),即②正確;
③∵f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=0對(duì)稱(chēng),函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象可以由f(x)與y=f(-x)的圖象向右移了一個(gè)單位而得到,從而可得函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng),即③正確;
④在同一坐標(biāo)系中,點(diǎn)(x,y)在函數(shù)y=f(1+x)的圖象上,則(-x,y)在y=f(1-x)的圖象上,∴函數(shù)y=f(1+x)與y=f(1-x)其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),即④正確.
綜上,①②③④均為真命題.
故選D.
點(diǎn)評(píng):本題考查命題真假的判斷,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,有難度.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列說(shuō)法中,正確的是( 。
①對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+1)=f(1-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng);
②當(dāng)a>1時(shí),任取x∈R都有ax>a-x;
③“a=1”是“函數(shù)f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增”的充分必要條件;
④設(shè)a∈{-1,1,
1
2
,3},則使函數(shù)y=xa的定義域?yàn)镽且該函數(shù)為奇函數(shù)的所有a的值為1,3;
⑤已知a是函數(shù)f(x)=2x-log0.5x的零點(diǎn),若0<x0<a,則f(x0)<0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:北京市海淀區(qū)2010屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:013

對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),給出下列命題:

①若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件f(x-1)+f(1-x)=2,則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng);

②若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件f(x-1)=f(1-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);

③在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)其圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng);

④在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=f(1+x)與y=f(1-x)其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

其中,真命題的個(gè)數(shù)是

[  ]
A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:單選題

下列說(shuō)法中,正確的是
①對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+1)=f(1-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng);
②當(dāng)a>1時(shí),任取x∈R都有ax>a-x
③“a=1”是“函數(shù)f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增”的充分必要條件;
④設(shè)a∈{-1,1,數(shù)學(xué)公式,3},則使函數(shù)y=xa的定義域?yàn)镽且該函數(shù)為奇函數(shù)的所有a的值為1,3;
⑤已知a是函數(shù)f(x)=2x-log0.5x的零點(diǎn),若0<x0<a,則f(x0)<0.


  1. A.
    ①④
  2. B.
    ①④⑤
  3. C.
    ②③④
  4. D.
    ①⑤

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)高三(上)第二次段考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

下列說(shuō)法中,正確的是( )
①對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+1)=f(1-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng);
②當(dāng)a>1時(shí),任取x∈R都有ax>a-x;
③“a=1”是“函數(shù)f(x)=lg(ax+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增”的充分必要條件;
④設(shè)a∈{-1,1,,3},則使函數(shù)y=xa的定義域?yàn)镽且該函數(shù)為奇函數(shù)的所有a的值為1,3;
⑤已知a是函數(shù)f(x)=2x-log0.5x的零點(diǎn),若0<x<a,則f(x)<0.
A.①④
B.①④⑤
C.②③④
D.①⑤

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