Question

某學(xué)校要建造一個(gè)面積為10000平方米的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)．如圖，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)是由一個(gè)矩形ABCD和分別以AD、BC為直徑的兩個(gè)半圓組成．跑道是一條寬8米的塑膠跑道，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)除跑道外，其他地方均鋪設(shè)草皮．已知塑膠跑道每平方米造價(jià)為150元，草皮每平方米造價(jià)為30元．
（1）設(shè)半圓的半徑OA=r（米），試建立塑膠跑道面積S與r的函數(shù)關(guān)系S（r）；
（2）由于條件限制r∈[30，40]，問當(dāng)r取何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)造價(jià)最低？（精確到元）

Answer 1

分析：（1）跑道的面積等于一個(gè)大圓減去一個(gè)小圓加上一個(gè)大矩形減去一個(gè)小矩形，
（2）將實(shí)際問題的最值轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的最值，用函數(shù)單調(diào)性求最值

解答：解：（1）塑膠跑道面積S=π[r²-（r-8）²]+8×

10000-πr2

2r

×2
=

80000

r

+8πr-64π（8＜r＜

100

π

）
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)造價(jià)為y則
y=150×（

80000

r

+8πr-64π）+30×（10000-

80000

r

-8πr+64π）
=300000+120（

80000

r

+8πr）-7680π
∵r∈[30，40]，函數(shù)y是r的減函數(shù)
∴當(dāng)r=40，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)造價(jià)最低為636510元
答：塑膠跑道面積S與r的函數(shù)關(guān)系S（r）=

80000

r

+8πr-64π（8＜r＜

100

π

）
當(dāng)r=40，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)造價(jià)最低為636510元

點(diǎn)評(píng)：本題考查建立數(shù)學(xué)模型的能力；用單調(diào)性求最值的方法．