Question

已知三次函數(shù)f（x）的最高次項(xiàng)系數(shù)為a，三個(gè)零點(diǎn)分別為-1，0，3．
（1）若方程

f(x)

x

+2x+7a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求a的值；
（2）若函數(shù)λ（x）=f（x）+2x²在區(qū)間(-∞，

a

3

)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)模型可設(shè)出函數(shù)解析式，代入方程

f(x)

x

+2x+7a=0，然后根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，利用判別式為0建立等式關(guān)系，解之即可．
（2）λ（x）在(-∞，

a

3

)內(nèi)單調(diào)遞減，可轉(zhuǎn)化成λ'（x）≤0在(-∞，

a

3

)恒成立，然后討論a，建立關(guān)于a的不等關(guān)系，解之即可．

解答：解：（1）依題意，設(shè)f（x）=ax（x+1）（x-3）
∵

f(x)

x

+2x+7a=0有兩個(gè)相等實(shí)根，
即ax²-（2a-2）x+4a=0有兩個(gè)相等實(shí)根，
∴△=（2a-2）²-4a•4a=0，
即a=

1

3

或a=-1．
（2）∵λ（x）=ax³-（2a-2）x²-3ax在(-∞，

a

3

)內(nèi)單調(diào)遞減，
∴λ'（x）=3ax²-2（2a-2）x-3a≤0在(-∞，

a

3

)恒成立，
∴a=0或

a＜0 λ• a 3 =3a•( a 3 )2-2(2a-2)• a 3 -3a≤0

解得a=0或a≤-1

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及恒成立問題，同時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．