已知三棱錐A-BCD的體積是V，棱BC的長(zhǎng)是a，面ABC和面DBC的面積分別是S1和S2．設(shè)面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα=______．

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如圖，過(guò)頂點(diǎn)A向底面BCD作AH⊥平面BCD，
在平面ABC內(nèi)作AE⊥BC，連結(jié)HE，
根據(jù)三垂線定理可知，HE⊥BC，
所以∠AEH是二面角A-BC-D的平面角，則∠AEH=α，
由已知S△BCD=S2，三棱錐A-BCD的體積為V=
1
3
S2•AH，AH=
3V
S2
，
S△ABC=S1=
1
2
AE•BC，AE=2
S1
a
，
sinα=
AH
AE
=
3V
S2
2S1
a
=
3aV
2S1S2
．
所以面ABC和面DBC所成二面角的正弦值為
3aV
2S1S2
．
故答案為
3aV
2S1S2
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知三棱錐A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E，F(xiàn)分別是直線AC，AD上的點(diǎn)，且
AE
AC
=
AF
AD
=λ．
（1）求二面角B-CD-A平面角的余弦值
（2）當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知三棱錐A-BCD中，AB=CD，且直線AB與CD成60°角，點(diǎn)M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，則直線AB和MN所成的角是
60°
60°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知三棱錐A-BCD的各棱長(zhǎng)均為1，且E是BC的中點(diǎn)，則
AE
•
CD
=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1992•云南）已知三棱錐A-BCD的體積是V，棱BC的長(zhǎng)是a，面ABC和面DBC的面積分別是S1和S2．設(shè)面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα=
3aV
2S1S2
3aV
2S1S2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•大連一模）已知三棱錐A-BCD及其三視圖如圖所示．
（I）若DE⊥AB于E，DE⊥AC于F，求證：AC⊥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大小．

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