已知函數(shù)f(x)＝px－－lnx，g(x)＝lnx－，其中無理數(shù)e＝2.71828…．

(Ⅰ)若p＝0，求證：f(x)≥1－x；

(Ⅱ)若f(x)在其定義域內是單調函數(shù)，求p的取值范圍；

(Ⅲ)對于區(qū)間(1，2)中的任意常數(shù)p，是否存在x0＞0使f(x0)≤g(x0)成立？

若存在，求出符合條件的一個x0；否則，說明理由．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：當時，．令，則．

　　若，遞增；若，遞減，

　　則是的極(最)大值點．于是

　　，即．故當時，有．5分

　　(Ⅱ)解：對求導，得．

　�、偃�，，則在上單調遞減，故合題意．

　　②若，．

　　則必須，故當時，在上單調遞增．

　　③若，的對稱軸，則必須，

　　故當時，在上單調遞減．

　　綜合上述，的取值范圍是．10分

　　(Ⅲ)解：令．則問題等價于

　　找一個使成立，故只需滿足函數(shù)的最小值即可．

　　因，

　　而，

　　故當時，，遞減；當時，，遞增．

　　于是，．

　　與上述要求相矛盾，故不存在符合條件的．


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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：高三數(shù)學教學與測試 題型：044

已知函數(shù)f(x)＝(p＞0)，試求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年高三年級秦皇島市三區(qū)四縣聯(lián)考文科試題 題型：解答題

(文)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c圖像上的點P(1，－2)處的切線方程為y＝－3x＋1.
(1)若函數(shù)f(x)在x＝－2時有極值，求f(x)的表達式；
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調遞增，求實數(shù)b的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年浙江省臨海市高三第三次模擬理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f (x)＝x3＋(1－a)x2－3ax＋1，a＞0．

(Ⅰ) 證明：對于正數(shù)a，存在正數(shù)p，使得當x∈[0，p]時，有－1≤f (x)≤1；

(Ⅱ) 設(Ⅰ)中的p的最大值為g(a)，求g(a)的最大值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年湖南省、岳陽縣一中高三11月聯(lián)考理科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分13分）(第一問8分，第二問5分)

已知函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝ax2＋3x.

（1）設直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點P、Q處的切線平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個不同的實根，求實數(shù)k的取值范圍；

（2）設函數(shù)F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數(shù)f(x)與g(x)的導函數(shù)；試問是否存在實數(shù)a，使得當x∈(0,1］時，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年云南省高二下學期期末考試理科數(shù)學卷 題型：選擇題

已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－x2＋x－m（m為常數(shù)）的圖象上P點處的切線與直線x－y＋2＝0的夾角為45°，則點P的橫坐標為（    ）

A.  0           B.            C.           D.  ±

 

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