Question

（2013•汕頭二模）關(guān)于二項(xiàng)式（x-1）²⁰¹³有下列命題：
（1）該二項(xiàng)展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1；
（2）該二項(xiàng)展開式中第六項(xiàng)為

C

6 2013

x2007；
（3）該二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1007項(xiàng)；
（4）當(dāng)x=2014時(shí)，（x-1）²⁰¹³除以2014的余數(shù)是2013．
其中正確命題有（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：利用賦值求出各項(xiàng)系數(shù)和，判斷出命題（1）正確；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第六項(xiàng)，判斷出命題（2）錯(cuò)誤；據(jù)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，判斷出命題（3）正確；利用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式展開，判斷出命題（4）正確．

解答：解：此二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為0，其常數(shù)項(xiàng)為-1，故（1）正確；
其第六項(xiàng)T₆=C₂₀₁₃⁵x^2013-5•（-1）⁵=-C₂₀₁₃⁵x²⁰⁰⁸，故（2）錯(cuò)；
該二項(xiàng)展開式共有2014項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)為正、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，
由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知第1007項(xiàng)與1008項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，故（3）正確；
（x-1）²⁰¹³=（x²⁰¹³-C₂₀₁₃¹x²⁰¹²+C₂₀₁₃²x²⁰¹¹-…+C₂₀₁₃²⁰¹²x）-1=（x²⁰¹³-C₂₀₁₃¹x²⁰¹²+C₂₀₁₃²x²⁰¹¹-…+C₂₀₁₃²⁰¹²-1）x+x-1．當(dāng)x=2014時(shí)，被2014除的余數(shù)為2014-1=2013．故（4）正確．
其中正確命題有3個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求展開式的系數(shù)和的方法是賦值法，考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決展開式的特定項(xiàng)問題，考查展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．屬于中檔題．