Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，點（S_n+1，S_n）在直線﹣=1，其中n∈N*
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設(shè)T_n=+﹣2，證明：≤T₁+T₂+T₃+…+T_n＜3．

Answer 1

（I）解：∵點（S_n+1，S_n）在直線 ﹣ =1，
∴ 
∴數(shù)列{ }構(gòu)成以2為首項，1為公差的等差數(shù)列
∴ =2+（n﹣1）=n+1
∴S_n=n²+n
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n﹣S_n﹣1=2n，而a₁=2
∴a_n=2n；
（II）證明：∵S_n=n²+n ∴T_n= + ﹣2= ，
∵n∈N*，∴T_n＞0
∴T₁+T₂+T₃+…+T_n＞ 
∵T₁+T₂+T₃+…+T_n=2[（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ）]=3 ＜3
∴ ≤T₁+T₂+T₃+…+T_n＜3．