Question

（2013•浙江模擬）已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-t．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解，求t的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C所對的邊，若t=3，且f（A）=-1，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

分析：（I）由二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡得2sin（2x+

π

6

）+1-t，結(jié)合正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，根據(jù)f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解建立關(guān)于t的不等式組，解之即可得到實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（II）由（I）得到f（A）=2sin（2A+

π

6

）-2=-1，結(jié)合A是三角形的內(nèi)角解出A=

π

3

．結(jié)合余弦定理得a²關(guān)于b、c的式子，最后利用基本不等式求最值，可得當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時，a的最小值為1．

解答：解：（I）∵sinxcosx=

1

2

sin2x，cos²x=

1

2

（1+cos2x）
∴f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-t=

3

sin2x+cos2x+1-t
=2（sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

）+1-t=2sin（2x+

π

6

）+1-t
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，可得-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
∴方程f（x）=0有解，即

-1+1-t≤0 2+1-t≥0

，解之得0≤t≤3；
（II）∵t=3，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1-t=2sin（2x+

π

6

）-2
可得f（A）=2sin（2A+

π

6

）-2=-1，sin（2A+

π

6

）=

1

2

∵A是三角形的內(nèi)角，∴A=

π

3

根據(jù)余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc
∵b+c=2，可得bc≤（

b+c

2

）²=1
∴a²=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3=2²-3=1
即當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時，a的最小值為1．

點(diǎn)評：本題給出三角函數(shù)式，探索方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解時t的取值范圍，并依此求三角形的邊長的最小值，著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、余弦定理和基本不等式等知識，屬于中檔題．