已知圓和直線

(1) 求證:不論取什么值,直線和圓總相交;

(2) 求取何值時(shí),圓被直線截得的弦最短,并求最短弦的長(zhǎng).

 

【答案】

(1)見(jiàn)解析 (2) 當(dāng)時(shí)，圓被直線截得最短的弦長(zhǎng)為4

【解析】（1）由直線l的方程可得從而可確定直線l恒過(guò)定點(diǎn)(4,3),

再證明定點(diǎn)（4，3）在圓內(nèi)部即可.

（2）由弦長(zhǎng)公式可知當(dāng)定點(diǎn)P（4，3）為弦的中點(diǎn)時(shí)，圓心到直線l的距離最大，弦長(zhǎng)最短，所以此時(shí)直線l與CP垂直.

解:(1)證明:由直線的方程可得,,則直線恒通過(guò)點(diǎn)

,把代入圓C的方程,得,所以點(diǎn) 在圓的內(nèi)部,

又因?yàn)橹本�恒過(guò)點(diǎn), 所以直線與圓C總相交.

(2)設(shè)圓心到直線的距離為,則

   

又設(shè)弦長(zhǎng)為,則,即.

∴當(dāng)時(shí),

所以圓被直線截得最短的弦長(zhǎng)為4.

 

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（Ⅰ）若直線與圓C相切，求直線的方程；
（Ⅱ）若直線與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，與交于N點(diǎn)，且線段PQ的中點(diǎn)為M，
求證:為定值．

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已知圓和直線，

（1）求證：不論取什么值，直線和圓總相交；

（2）求取何值時(shí)，直線被圓截得的弦最短，并求出最短弦的長(zhǎng)；

 

 

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