已知圓和直線

(1) 求證:不論取什么值,直線和圓總相交;

(2) 求取何值時,圓被直線截得的弦最短,并求最短弦的長.

 

【答案】

(1)見解析 (2) 當(dāng)時，圓被直線截得最短的弦長為4

【解析】（1）由直線l的方程可得從而可確定直線l恒過定點(4,3),

再證明定點（4，3）在圓內(nèi)部即可.

（2）由弦長公式可知當(dāng)定點P（4，3）為弦的中點時，圓心到直線l的距離最大，弦長最短，所以此時直線l與CP垂直.

解:(1)證明:由直線的方程可得,,則直線恒通過點

,把代入圓C的方程,得,所以點 在圓的內(nèi)部,

又因為直線恒過點, 所以直線與圓C總相交.

(2)設(shè)圓心到直線的距離為,則

   

又設(shè)弦長為,則,即.

∴當(dāng)時,

所以圓被直線截得最短的弦長為4.

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓和直線x-6y-10=0相切于（4，-1），且經(jīng)過點（9，6），求圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓和直線，直線，都經(jīng)過圓C外

定點A(1，0)．

（Ⅰ）若直線與圓C相切，求直線的方程；

（Ⅱ）若直線與圓C相交于P，Q兩點，與交于N點，且線段PQ的中點為M，

求證:為定值．

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（本小題滿分12分）
已知圓和直線，直線，都經(jīng)過圓C外定點A(1，0)．
（Ⅰ）若直線與圓C相切，求直線的方程；
（Ⅱ）若直線與圓C相交于P，Q兩點，與交于N點，且線段PQ的中點為M，
求證:為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆北京師大附中高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分13分）

已知圓和直線，

（1）求證：不論取什么值，直線和圓總相交；

（2）求取何值時，直線被圓截得的弦最短，并求出最短弦的長；

 

 

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