Question

已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若f（-3）=a，試用a表示f（24）．

Answer 1

分析：（1）可令y=-x，得到f（x）+f（-x）=f（0），再令x=y=0，可求得f（0）=0，從而可證明f（x）是奇函數(shù)；
（2）利用（1）中f（x）是奇函數(shù)，由f（-3）=a，可求得f（3），再根據(jù)“當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）”即可用a表示f（24）．

解答：證明：（1）證明：令y=-x，得：f（x）+f（-x）=f（0），
令x=y=0，，則f（0）=2f（0）⇒f（0）=0，
∴f（x）+f（-x）=0，f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）∵f（24）=f（3）+f（21）=2f（3）+f（18）=…=8f（3），
又∵f（-3）=a⇒f（3）=-a⇒f（24）=-8a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，著重考查賦值法研究抽象函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題．