【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面是矩形,平面,AB 1,AP AD 2.

(1)求直線與平面所成角的正弦值;

(2)若點M,N分別在AB,PC上,且平面,試確定點M,N的位置.

【答案】(1);(2MAB的中點,NPC的中點

【解析】

(1)由題意知,AB,ADAP兩兩垂直.以為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系,求平面PCD的一個法向量為,由空間向量的線面角公式求解即可;(2)設(shè) ,利用平面PCD,所以,得到的方程,求解即可確定M,N的位置

1)由題意知,AB,AD,AP兩兩垂直.

為正交基底,建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系,則

從而

設(shè)平面PCD的法向量

不妨取

所以平面PCD的一個法向量為

設(shè)直線PB與平面PCD所成角為所以

即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為

2)設(shè)

設(shè)

所以.由(1)知,平面PCD的一個法向量為,因為平面PCD,所以

所以解得,

所以MAB的中點,NPC的中點.

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