Question

如下圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．

(I)求證：AB₁⊥平面A₁BD；

(II)求二面角A－A₁D－B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(I)取BC中點O，連結AO． 　　∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC． 　　∵正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 　　∴AO⊥平面BCC1B1， 　　連結B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分別為BC、CC1的中點， 　　∴B1O⊥BD， 　　∴AB1⊥BD． 　　在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B， 　　∴AB1⊥平面A1BD． 　　(II)設AB1與A1B交于點C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，連結AF，由(I)得AB1⊥平面A1BD， 　　∴∠AFG為二面A－A1B－B的平面角． 　　在△AA1D中，由等面積法可求得AF＝， 　　又∵AG＝＝， 　　∴sin∠AFG＝， 　　所以二面角A－A1D－B的大小為arcsin． 　　解法二：(I)取BC中點O，連結AO． 　　∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC． 　　∵正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 　　∴AO⊥平面BCC1B1． 　　取B1C1中點O1，以a為原點，的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)， 　　∴ 　　∵ 　　∴⊥⊥， 　　∴AB1⊥平面A1BD． 　　(II)設平面A1AD的法向量為n＝(x，y，z)． 　　 　　∵n⊥⊥， 　　∴∵∴ 　　令z＝1得a＝(－，0，1)為平面A1AD的一個法向量． 　　由(I)知AB1⊥A1BD． 　　∴為平面A1BD的法向量． 　　cos＜n1＞＝＝＝－． 　　∴二面角A－A1D－B的大小為arccos．