Question

從某學(xué)校高三年級(jí)共800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，據(jù)測(cè)量被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155，160）、第二組[160，165）；…第八組[190，195]，右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組、第七組、第八組人數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求第六組、第七組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖；
（Ⅱ）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x、y，求滿足|x-y|≤5的事件概率；
（Ⅲ）從最后三組中任取3名學(xué)生參加學(xué)校籃球隊(duì)，用ξ表示從第八組中取到的人數(shù)，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由頻率分布直方圖分析可得后三組的頻率，再根據(jù)公式：頻率=

頻數(shù)

數(shù)據(jù)總和

，計(jì)算可得答案．由等差數(shù)列可算出第六組、第七組人數(shù)，再算出小矩形的高度即可補(bǔ)圖；
（II）本小題是屬于古典概型的問(wèn)題，算出事件|x-y|≤5所包含的基本事件個(gè)數(shù)m，和基本事件的總數(shù)n，那么事件的概率P（A）=

m

n

．
（III）列出ξ的分布列，根據(jù)分布列利用隨機(jī)變量的期望公式求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（I）由直方圖知，前五組頻率為（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，
后三組頻率為1-0.82=0.18，人數(shù)為0.18×50=9（人）…（2分）
由直方圖得第八組頻率為：0.008×5=0.04，人數(shù)為0.04×50=2（人）  …（2分）
設(shè)第六組人數(shù)為m，則第七組人數(shù)為9-2-m=7-m，又m+2=2（7-m），
∴m=4…（3分）
所以第六組人數(shù)為4人，第七組人數(shù)為3人，頻率分別等于0.08，0.06…（4分）
∴

頻率

組距

分別等于0.016，0.012，（畫(huà)圖如上）…（5分）
（II）由（I）知身高在[180，185）內(nèi)的人數(shù)為4人，設(shè)為a，b，c，d．身高在[190，195）的人數(shù)為2人，設(shè)為A，B．若x，y∈[180，185）時(shí)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六種情況．
若x，y∈[190，195）時(shí)，有AB共一種情況．若x，y分別在[180，185）和[190，195）內(nèi)時(shí)，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8種情況，
∴基本事件的總數(shù)為6+8+1=15種…（6分）
事件|x-y|≤5所包含的基本事件個(gè)數(shù)有6+1=7種，…（7分），
∴P(|x-y|≤5)=

7

15

…（8分）
（III）ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P（ξ）	5 12	1 2	1 12

…（11分） 
 Eξ=0×

5

12

+1×

1

2

+2×

1

12

=

2

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)頻率、頻數(shù)靈活運(yùn)用的綜合考查，各小組頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總和，各小組頻率之和等于1．頻率、頻數(shù)的關(guān)系：頻率=

頻數(shù)

數(shù)據(jù)總和

，同時(shí)還考查了古典概型的計(jì)算．