Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²-bx-1（a，b∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若對(duì)任意a∈[0，1]，總存在x∈[1，2]，使得f（x）≤0成立，求b的最小值；
（2）若f（1）=0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)g（a）=e^x-ax²-bx-1，問題轉(zhuǎn)化為b≥$\frac{{e}^{x}-1}{x}$在[1，2]上有解，設(shè)h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的最小值即可；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，f（1）=0，即有e-a-b-1=0，可得b=e-a-1，結(jié)合（1），（2）運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設(shè)g（a）=e^x-ax²-bx-1，則x∈[1，2]時(shí)，g（a）在[0，1]遞減，
∴只要g（0）=e^x-bx-1≤0，
∴只要e^x-bx-1≤0在[1，2]上有解即可，
即b≥$\frac{{e}^{x}-1}{x}$在[1，2]上有解，設(shè)h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
∵h(yuǎn)′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）+1}{{x}^{2}}$＞0，
∴h（x）在[1，2]遞增，
只要b≥h（1）=e-1，
∴b的最小值是e-1；
（2）f（x）=e^x-ax²-bx-1，g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，
由f（1）=0，即有e-a-b-1=0，可得b=e-a-1，
∴g（x）=e^x-2ax-e+a+1，又f（0）=0．
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，
設(shè)x₀為f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，
則由f（0）=f（x₀）=0可知，
f（x）在區(qū)間（0，x₀）內(nèi)不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減．
則g（x）在區(qū)間（0，x₀）內(nèi)不可能恒為正，也不可能恒為負(fù)．
故g（x）在區(qū)間（0，x₀）內(nèi)存在零點(diǎn)x₁．同理g（x）在區(qū)間（x₀，1）內(nèi)存在零點(diǎn)x₂．
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，
g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)．
g′（x）=e^x-2a，
當(dāng)a≤$\frac{1}{2}$或a≥$\frac{e}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）即f′（x）在區(qū)間[0，1]內(nèi)單調(diào)，
不可能滿足“函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間”這一要求，
若$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$，此時(shí)g（x）在區(qū)間（0，ln（2a））內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（ln（2a），1）內(nèi)單調(diào)遞增．
因此x₁∈（0，ln（2a）），x₂∈（ln（2a），1），
又g（x）_min=g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-e+a+1=3a-2aln（2a）-e+1，
令h（x）=3x-2xln（2x）-e+1（$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{e}{2}$），
則h′（x）=3-2ln（2x）-2x•$\frac{1}{2x}$•2=1-2ln（2x），
令h′（x）=0得x=$\frac{\sqrt{e}}{2}$，列表如下：

x	（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{e}}{2}$）	$\frac{\sqrt{e}}{2}$	（$\frac{\sqrt{e}}{2}$，$\frac{\sqrt{e}}{2}$）
h′（x）	+	0	-
h（x）	增	$\sqrt{e}$-e+1	減

依表格知：當(dāng)$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{e}{2}$時(shí)，h（x）_min=$\sqrt{e}$-e+1＜0，
∴g（x）_min=3a-2aln（2a）-e+1＜0恒成立，
于是，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間
?$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}}\\{g（0）＞0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}}\\{2-e+a＞0}\\{1-a＞0}\end{array}\right.$?e-2＜a＜1．
綜上所述：a的取值范圍為（e-2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于難題．